Möbiusove trake: Šarmantni geometrijski oblici i njihova matematička misterija
Möbiusove trake su fascinantni geometrijski oblici koji posjeduju samo jednu stranu. Kako bi ih stvorili, uzmite trak papirnate trake – ona ima prednju i stražnju stranu. Sada je zavijte i zalijepite dva kratka ruba zajedno. Iznenada više nema prednje ni stražnje strane. Možete povući crtu duž cijele površine ne dižući olovku s papira.
Kratka povijest Möbiusovih traka
Prije četiri i pol desetljeća, matematičari su predložili minimalnu veličinu za ovakvu traku, no tada nisu mogli dokazati svoju tvrdnju. Danas, napokon imamo rješenje. Od stvaranja trake od strane August Ferdinanda Möbiusa i Johanna Benedicta Listinga, jednostavnost izrade i vizualizacije ovakvog oblika morala se uskladiti s matematičkom složenošću koju nosi. Nije iznenađujuće što su 1977. godine Charles Sidney Weaver i Benjamin Rigler Halpern postavili Halpern-Weaverovu pretpostavku, koja je definira minimalni odnos između širine trake i njezine dužine.
Halpern-Weaverova pretpostavka
- Teorija sugerira da za traku širine 1 centimetar (0.39 inča) dužina mora biti najmanje kvadratni korijen od 3 centimetra (oko 1.73 centimetra ili 0.68 inča).
- Za glatke Möbiusove trake “ugrađene” u prostor, koje se ne presijecaju, pretpostavka nije imala rješenje.
- Međutim, ako traka prolazi kroz sebe, problem se može lakše riješiti.
Otkrivenje iz 2020. godine
Godine 2020. matematičar Richard Evan Schwartz sa Sveučilišta Brown predložio je rješenje, no na početku je napravio grešku. U radu objavljenom kao preprint – što znači da nije prošao recenziju – Schwartz je ispravio tu grešku i pronašao pravo rješenje za pretpostavku. Rješenje dolazi iz lemme iz njegovog prethodnog rada.
Ključni koncepti i istraživanja
Jedan od ključnih koncepata bio je dokazivanje postojanja pravac koji prolaze kroz svaki točku na površini Möbiusovih traka i završavaju na rubovima. Kako bi dokazao prvi dio lemme, Schwartz je trebao pokazati da postoje okomiti pravci na te prave, koji se nalaze u istoj ravnini – i uspio je. “Uopće nije očigledno da oni postoje,” rekao je Schwartz za Scientific American.
Završne misli i nova otkrića
Nakon što su istražili mnoge aspekte Möbiusove trake, sljedeći korak bio je rezanje trake kako bi se razumjelo kakve oblike formira. Ideja je bila pojednostaviti problem ravnajući traku na ravninu. U prvobitnom radu, Schwartz je mislio da će narezana traka izgledati kao paralelogram, no ispostavilo se da je riječ o trapezu. “Ispravljeni izračun dao mi je broj koji je bio pretpostavka,” rekao je. “Bio sam zaprepašten… Proveo sam, otprilike, sljedeća tri dana jedva spavavši, samo pišući ovo.” Preprint je objavljen na ArXivu.
Zaključak
Möbiusove trake ne samo da pružaju zabavu i igru za ljubitelje geometrije, nego i postavljaju izazove za matematičare koji traže rješenja složenih problema. Sa svakim novim otkrićem, kao što je rješenje Halpern-Weaverove pretpostavke, otkrivamo nove dimenzije ovih neobičnih oblika i njihov utjecaj u svijetu matematike.
